数论 整除分块

0.1 前言

一个常常与莫比乌斯反演一起使用的技巧，单独使用也有一定用武之地。

1.1 问题

整除分块用以解决以下问题：

1.2 暴力法

失去算法，失去很多；失去暴力，失去一切

暴力是显然的，照着公式打一遍就好。

for(int i=1;i<=n;++i) ans+=(n/i);

1.3 整除分块

这暴力的过程中发现：虽然\(i\)的确是从\(1\)枚举到了\(n\)，但是\(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\)的值其实极其有限，具体而言，只有\(2\sqrt n\)种。证明如下：

对于\(\frac{n}{i}\)，的\(n\)和\(i\)

若\(i\leq \sqrt n\),显然\(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\)的个数不会超过\(\sqrt n\)种

若\(i> \sqrt n\)，则\(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\)的取值不会超过\(\sqrt n\)，因为\(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\)至大是\(\sqrt n\)

综上，结论成立φ(゜▽゜*)♪

显然，思路更进一步：假如我们每一次都能确定一个极大的范围，范围内的整除结果都是特定值，那么只需至多转移\(2\sqrt n\)次。复杂度\(O(\sqrt n)\)

问题转换为：如何确定一个范围，使的整除结果是一个特定的值？

结论:\(i\to\lfloor\frac{n}{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor} \rfloor\),是满足整除结果一致的极大范围。

证明：

设\(i\)是左边界，则\(i'\)是右边界，值是\(d=\frac{n}{i}\)

\(\frac{n}{i'}=d \Rightarrow i'=\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\)

展开得\(\lfloor\frac{n}{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor} \rfloor\)

因此，结论得证(๑•̀ㅂ•́)و✧

那么借用上述结论优化一下求值：

ll l=1,r;
for(l;l<=n;l=r+1){
    r=min(k/(k/l),min(n,k-1));
    ans+=(k/l)*(r-l+1)/2;   
}

终了╰(￣ω￣ｏ)