莫比乌斯反演学习笔记

参考资料

https://oi-wiki.org/math/mobius/

前置知识：

整除分块 </>
积性函数 <讲>
狄利克雷卷积 <讲>

主要内容：

莫比乌斯函数 <讲>
莫比乌斯反演 <讲>
莫比乌斯例题 <讲>

[HAOI2011]Problem b
LCMSUM
[国家集训队]Crash的数字表格
 [SDOI2015]约数个数和

积性函数

定义：如果 $\gcd(x,y)=1$ 并且 $f(xy)=f(x)f(y)$，则 $f(n)$ 为积性函数。

性质：如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为积性函数，那么如下函数也是积性函数：

\[h(x)=f(x^p)
\]

\[h(x)=f^p(x)
\]

\[h(x)=f(x)g(x)
\]

\[h(x)=\sum\limits_{d\mid x}f(d)g(\frac xd)
\]

例子：

单位函数：$\epsilon(x)=[x=1]$。

常数函数：$1(x)=1$。

欧拉函数：$\varphi(x)=\sum\limits_{i=1}^x[\gcd(x,i)=1]$。

莫比乌斯函数也是，下文会讲。

狄利克雷（Dirichlet）卷积

定义：

两个数论函数 $f$ 和 $g$ 的狄利克雷卷积 $(f*g)$ 为

\[(f*g)(x)=\sum\limits_{d|x}f(d)g(\frac xd)
\]

性质：满足交换和结合律，$\epsilon$ 是该函数单位元，每个函数卷它都得本身。

例子：

\[d(x)=(1*1)(x)=\sum\limits_{d|x}1
\]

\[\sigma(x)=(1*d)(x)=\sum\limits_{d|x}d
\]

\[\epsilon(x)=(\mu*1)(x)=\sum\limits_{d|x}\mu(d)
\]

\[\varphi(x)=(\mu*ID)(x)=\sum\limits_{d|x}d\cdot\mu(\frac xd)
\]

（这里的 $\mu$ 就是过会儿的莫比乌斯函数）。

莫比乌斯函数

定义：莫比乌斯函数符号为 $\mu$，

\[\mu(x)=
\begin{cases}
1 & x=1\\
0 & \exists d\in\mathbb{Z}:d^2\mid x\\
(-1)^k & k 为 x 本质不同的的质因子个数\\
\end{cases}
\]

说明：如果有 $x=\prod\limits_{i=1}^kp_i^{c_i}$，那么

如果 $x=1$，那么 $\mu(x)=1$。
如果 $\forall i:c_i=1$，那么 $\mu(x)=(-1)^k$。
否则 $\mu(x)=0$。

性质：

$\mu*1=\epsilon$，即 $\sum\limits_{d\mid x}\mu(d)=\epsilon(x)$，或

\[\sum\limits_{d\mid x}\mu(d)=
\begin{cases}
1 & x=1\\
0 & x\neq 1\\
\end{cases}
\]

$\sum\limits_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n}$。
反演结论：$[\gcd(i,j)=1]=\epsilon(\gcd(i,j))=\sum\limits_{d|\gcd(i,j)}\mu(d)$。
拓展：$\varphi*1=ID$，$\sum\limits_{d|nm}=\sum\limits_{x|n}\sum\limits_{y|m}[\gcd(x,y)=1]$。

线性筛求莫比乌斯函数：

void Mobius(int n){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!np[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
            np[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0){mu[i*p[j]]=0;break;}
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
}

莫比乌斯反演

如果有两个数量函数 $f$ 和 $g$，满足

\[f(x)=\sum\limits_{d|x}g(d)
\]

那么就有

\[g(x)=\sum\limits_{d|x}f(d)\cdot\mu(\frac xd)
\]

证明：

即已知 $f=g*1$，证明 $g=f*\mu$。

证：$f*\mu=g*1*\mu=g*\epsilon=g$。

经典例题

[HAOI2011]Problem b

$T$ 组测试数据，给定 $a,b,c,d,k$ 求

\[\sum\limits_{i=a}^b\sum\limits_{j=c}^d[\gcd(i,j)=k]
\]

数据范围：$1\le T,a,b,c,d,k\le 5\times 10^4$。

如果令

\[f(n,m)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)=k]
\]

容斥一下，则有题目中的式子 $=f(b,d)+f(a-1,c-1)-f(a-1,d)-f(b,c-1)$。

然后

\[\begin{split}
f(n,m)=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)=k]\\
=&\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac nk\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac mk \rfloor}[\gcd(i,j)=1]\\
=&\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac nk\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac mk \rfloor}\epsilon(\gcd(i,j))\\
=&\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac nk\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac mk \rfloor}\sum\limits_{d\mid \gcd(i,j)}\mu(d)\\
=&\sum\limits_{d=1}^{\min\{n,m\}}\mu(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac nk\rfloor}[d\mid i]\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac mk \rfloor}[d\mid j]\\
=&\sum\limits_{d=1}^{\min\{n,m\}}\mu(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac n{kd}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac m{kd} \rfloor}\\
=&\sum\limits_{d=1}^{\min\{n,m\}}\mu(d)\lfloor \frac n{kd}\rfloor\lfloor \frac m{kd} \rfloor\\
\end{split}
\]

然后用莫比乌斯函数前缀和 $+$ 整除分块计算即可，时间复杂度 $\Theta(N+T\sqrt n)$。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//&Start
#define lng long long
#define lit long double
#define kk(i,n) "\n "[i<n]
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng Inf=1e17;

//&Mobius
const int N=5e4;
bitset<N+10> np;
int mu[N+10],cnt,p[N+10];
void Mobius(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!np[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=N;j++){
            np[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0){mu[i*p[j]]=0;break;}
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++) mu[i]+=mu[i-1]; 
}

//&Fenk
int Fenk(int n,int m){
    int res=0,mn=min(n,m);
    for(int l=1,r;l<=mn;l=r+1){
        r=min(n/(n/l),m/(m/l));
        res+=(mu[r]-mu[l-1])*(n/l)*(m/l);
    }
    return res;
}

//&Data
int t,a,b,c,d,k;

//&Main
int main(){
    Mobius();
    scanf("%d",&t);
    for(int ti=1;ti<=t;ti++){
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
        printf("%d\n",
            +Fenk(b/k,d/k)
            +Fenk((a-1)/k,(c-1)/k)
            -Fenk((a-1)/k,d/k)
            -Fenk(b/k,(c-1)/k)
        );
    }
    return 0;
}

LCMSUM

$T$ 组数据，给定 $n$，求 $$\sum\limits_{i=1}^n\operatorname{lcm}(i,n)$$

数据范围：$1\le T\le 3\times 10^5$，$1\le n\le 10^6$。

\[\begin{split}
g(n)=&\sum\limits_{i=1}^n\operatorname{lcm}(i,n)\\
=&\sum\limits_{i=1}^n\frac{in}{\gcd(i,n)}\\
=&\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i=1}^n[\gcd(i,n)=d]\frac id n\\
=&\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i=1}^{\frac nd}[\gcd(i,\frac nd)=1]in\\
=&n\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i=1}^{\frac nd}[\gcd(i,\frac nd)=1]i\\
\end{split}
\]

令

\[f(n)=\sum\limits_{i=1}^n[\gcd(n,i)=1]i
\]

\[\because \gcd(n,i)=\gcd(n,n-i)
\]

\[\therefore [\gcd(n,i)=1]=[\gcd(n,n-i)=1]
\]

\[[\gcd(n,i)=1]i+[\gcd(n,n-i)](n-i)=n[\gcd(n,i)=1]
\]

\[\therefore f(n)=\sum\limits_{i=1}^n[\gcd(n,i)=1]i=\frac {\varphi(n)n}{2}
\]

\[\begin{split}
\therefore g(n)=&n\sum\limits_{d|n}f(\frac nd)\\
=&n\sum\limits_{d|n}\frac {\varphi(\frac nd)\frac nd}{2}\\
=&n\sum\limits_{d|n}\frac {\varphi(d)d}{2}\\
\end{split}
\]

然后码的时候，维护一个前缀和

\[sum(n)=\sum\limits_{d|n}\frac {\varphi(d)d}{2}
\]

即可，然后总时间复杂度就是 $\Theta(n\log\log n+T)$。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//&Start
#define lng long long
#define lit long double
#define kk(i,n) "\n "[i<n]
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng Inf=1e17;

//&Eular
const int N=1e6;
bitset<N+10> np;
int phi[N+10],cnt,p[N+10];
lng f[N+10];
void Eular(){
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!np[i]) p[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=N;j++){
            np[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0){phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];break;}
            else phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
        }
    }
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++) f[i]=1ll*phi[i]*i/2;
    for(int j=1;j<=cnt;j++)
        for(int i=1;i*p[j]<=N;i++)
            f[i*p[j]]+=f[i]; //用f数组自得sum
}

//&Data
int t,n;

//&Main
int main(){
    Eular();
    scanf("%d",&t);
    for(int ti=1;ti<=t;ti++){
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",f[n]*n);
    }
    return 0;
}

[国家集训队]Crash的数字表格

[国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB

单组测试数据，给定 $n,m$ ，求

\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\operatorname{lcm}(i,j)\bmod 20101009
\]

数据范围：$1\le n,m\le 10^7$。

$n\le m$，一气呵成：

\[\begin{split}
g(n,m)=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\operatorname{lcm}(i,j)\\
=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\frac{ij}{\gcd(i,j)}\\
=&\sum\limits_{d=1}^n\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\frac{ij}{d}[\gcd(i,j)=d]\\
=&\sum\limits_{d=1}^n\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}ijd[\gcd(i,j)=1]\\
=&\sum\limits_{d=1}^n d\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}i\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}j\sum\limits_{k|\gcd(i,j)}\mu(k)\\
=&\sum\limits_{d=1}^n d\sum\limits_{k=1}^n\mu(k)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}i[k|i]\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}j[k|j]\\
=&\sum\limits_{d=1}^n d\sum\limits_{k=1}^n\mu(k)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac {n}{dk}\rfloor}ik\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac {m}{dk}\rfloor}jk\\
=&\sum\limits_{d=1}^n d\sum\limits_{k=1}^nk^2\mu(k)\frac{\lfloor\frac{n}{dk}\rfloor(\lfloor\frac{n}{dk}\rfloor+1)}{2}\cdot\frac{\lfloor\frac{m}{dk}\rfloor(\lfloor\frac{m}{dk}\rfloor+1)}{2}\\
\end{split}
\]

将 $x=dk$ 带入：

\[g(n,m)=\sum\limits_{x=1}^nx\cdot\frac{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor(\lfloor\frac{n}{x}\rfloor+1)}{2}\cdot\frac{\lfloor\frac{m}{x}\rfloor(\lfloor\frac{m}{x}\rfloor+1)}{2}\sum\limits_{k|x}k\mu(k)
\]

然后筛 $\mu(k)$ 时顺便计算 $h(k)=k\mu(k)$，最后狄利克雷前缀和求 $f(k)=\sum\limits_{k|x}k\mu(k)$。

别忘了膜拜 $20101009$，时间复杂度 $\Theta(N+n)$。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//&Start
#define lng long long
#define lit long double
#define kk(i,n) "\n "[i<n]
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng Inf=1e17;

//&Mobius
const int N=1e7;
const int mod=20101009;
bitset<N+10> np;
int mu[N+10],cnt,p[N+10],f[N+10];
void Mobius(){
    f[1]=mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!np[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        f[i]=(mu[i]*i+mod)%mod;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=N;j++){
            np[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0){mu[i*p[j]]=0;break;}
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int j=1;j<=cnt;j++)
        for(int i=1;i*p[j]<=N;i++)
            (f[i*p[j]]+=f[i])%=mod; //狄利克雷前缀和
}


//&Data
int n,m,ans;
int bitfun(int x){
    lng res=1ll*x*f[x]%mod;
    (res*=1ll*(n/x+1)*(n/x)/2%mod)%=mod;
    (res*=1ll*(m/x+1)*(m/x)/2%mod)%=mod; //如上
    //这个1ll不乘要爆long long，30分。
    return (int)res;
}

//&Main
int main(){
    Mobius();
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m) swap(n,m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        (ans+=bitfun(i))%=mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

[SDOI2015]约数个数和

$T$ 组测试数据，给定 $n,m$，求

\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^md(ij)
\]

其中 $d(x)=\sum\limits_{k|x}$。

数据范围：$1\le n,m,T\le 5\times 10^4$。

$n\le m$：

\[\begin{split}
g(n,m)=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^md(ij)\\
=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[\gcd(x,y)=1]\\
=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}\sum\limits_{k|\gcd(x,y)}\mu(k)\\
=&\sum\limits_{x=1}^n\sum\limits_{y=1}^m\sum\limits_{i=1}^n[x|i]\sum\limits_{j=1}^m[y|j]\sum\limits_{k|\gcd(x,y)}\mu(k)\\
=&\sum\limits_{x=1}^n\sum\limits_{y=1}^m\lfloor\frac{n}{x}\rfloor\lfloor\frac{m}{y}\rfloor\sum\limits_{k|\gcd(x,y)}\mu(k)\\
=&\sum\limits_{k=1}^n\mu(k)\sum\limits_{x=1}^n[k|x]\sum\limits_{y=1}^m[k|y]\lfloor\frac{n}{x}\rfloor\lfloor\frac{m}{y}\rfloor\\
=&\sum\limits_{k=1}^n\mu(k)\sum\limits_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum\limits_{y=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}\lfloor\frac{n}{kx}\rfloor\lfloor\frac{m}{ky}\rfloor\\
=&\sum\limits_{k=1}^n\mu(k)\sum\limits_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum\limits_{y=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}{x}\rfloor\lfloor\frac{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}{y}\rfloor\\
\end{split}
\]

设整除分块函数 $\operatorname{fenk}(n)=\sum\limits_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$。

所以上式

\[\begin{split}
=&\sum\limits_{k=1}^n\mu(k)\operatorname{fenk}(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor)\operatorname{fenk}(\lfloor\frac{m}{k}\rfloor)\\
\end{split}
\]

然后分块套分块，加个莫比乌斯前缀和，即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//&Start
#define lng long long
#define lit long double
#define kk(i,n) "\n "[i<n]
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng Inf=1e17;

//&Mobius
const int N=5e4;
bitset<N+10> np;
int p[N+10],cnt,mu[N+10];
void Mobius(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!np[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=N;j++){
            np[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0){mu[i*p[j]]=0;break;}
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=2;i<=N;i++) mu[i]+=mu[i-1];//莫比乌斯前缀和
}

//&Fenk
lng fk[N+10];
lng Fenk(int n){//fenk函数
    lng res=0;
    for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
        r=n/(n/l),res+=1ll*(r-l+1)*(n/l);
    return res;
}

//&Data
int t,n,m;

//&Main
int main(){
    Mobius();
    for(int i=1;i<=N;i++)
        fk[i]=Fenk(i);
    scanf("%d",&t);
    for(int ti=1;ti<=t;ti++){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n>m) n^=m^=n^=m;
        lng ans=0;
        for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){//外层大分块
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));
            ans+=fk[n/l]*fk[m/l]*(mu[r]-mu[l-1]);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

如果有感悟或经验，后期会更新，感谢支持。

祝大家学习愉快！

原文链接: https://www.cnblogs.com/George1123/p/12441788.html

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