37%原则如何优化我们做决定的时间_如何选择 37%原则 英文

当需要百(千，万…)里挑一时，需要权衡最优解和效率，有一个37%原则比较有趣。

整个择优过程分为两个阶段：

• 观望：在前面$k$
• 选择：从第$k+1$

如果有10000个候选者，遍历10000次的过程中，越往后，找到比前面所有候选者都优秀的候选者的机会越渺茫，此时权衡一下概率和成本，就地抉择也不失为一种好策略，37%原则是这个问题的定量化表示。

总量

n

n

n个候选人拍成一排，设停止观望的位置为

k

k

k，从

k

+

1

k+1

k+1到

n

n

n的遍历比较，假设其中可以找到最有，设他的位置在

i

i

i。

现在来看一下概率的计算：

• 总量$n$
• $i$
• 在$k$
• 求出可能性最大的$k$

写成式子就是：

P

(

k

)

=

∑

i

=

k

+

1

n

1

n

k

i

−

1

=

k

n

∑

i

=

k

+

1

n

1

i

−

1

P(k)=\sum\limits_{i=k+1}^n\dfrac{1}{n}\dfrac{k}{i-1}=\dfrac{k}{n}\sum\limits_{i=k+1}^n\dfrac{1}{i-1}

P(k)=i=k+1∑n​n1​i−1k​=nk​i=k+1∑n​i−11​

为了求极值，用求导的方法，把离散求和式凑成连续的积分(这只是一种技巧，无必然)：

P

(

k

)

=

k

n

∫

k

+

1

n

1

i

−

1

d

i

=

k

n

(

ln

⁡

(

i

−

1

)

∣

k

+

1

n

)

P(k)=\dfrac{k}{n}\displaystyle\int_{k+1}^n\dfrac{1}{i-1}di=\dfrac{k}{n}(\ln(i-1)|_{k+1}^n)

P(k)=nk​∫k+1n​i−11​di=nk​(ln(i−1)∣k+1n​)

进一步化简：

P

(

k

)

=

k

n

(

ln

⁡

(

n

−

1

k

)

)

=

−

k

n

ln

⁡

k

n

−

1

≈

−

k

n

ln

⁡

k

n

P(k)=\dfrac{k}{n}(\ln(\dfrac{n-1}{k}))=-\dfrac{k}{n}\ln\dfrac{k}{n-1}\approx-\dfrac{k}{n}\ln\dfrac{k}{n}

P(k)=nk​(ln(kn−1​))=−nk​lnn−1k​≈−nk​lnnk​

设

x

=

k

n

x=\dfrac{k}{n}

x=nk​，则：

P

(

n

x

)

=

−

x

ln

⁡

x

P(nx)=-x\ln x

P(nx)=−xlnx

设

f

(

x

)

=

−

x

ln

⁡

x

f(x)=-x\ln x

f(x)=−xlnx，对

x

x

x求导：

f

′

(

x

)

=

−

ln

⁡

x

−

1

f'(x)=-\ln x-1

f′(x)=−lnx−1

得

x

=

1

e

x=\dfrac{1}{e}

x=e1​时，

P

P

P取最大值，此时：

k

=

n

x

=

0.37

n

k=nx=0.37n

k=nx=0.37n

n

n

n为总量，

k

=

0.37

n

k=0.37n

k=0.37n就是

n

n

n的37%，这就是说，

k

k

k达到总量的37%时，放弃观望后见优选择可以找到最优者的成功率最大，这个成功率是多少呢？

有趣的是，将

x

=

1

e

x=\dfrac{1}{e}

x=e1​带入

f

(

x

)

f(x)

f(x)后：

P

(

k

)

=

f

(

x

)

=

1

e

≈

0.37

=

37

%

P(k)=f(x)=\dfrac{1}{e}\approx0.37=37\%

P(k)=f(x)=e1​≈0.37=37%

成功率最大的停止点在总量的37%处，成功率的值也是37%：

这也正是神奇的数学驻点

e

e

e的又一个表现。

说回37%原则，事实上不光是百里挑一，发生在单向时间序列的人生亦如此，每一个决定都无法回头，同时亦无可能穷尽未来，选择最佳停止观望时机是一个普适问题，类似37%原则的最优停止原则还有很多，值得思考琢磨。

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。