c++画分形之Julia集与Mandelbrot集

Julia集是一个在复平面上形成分形的点的集合，它最早由法国数学家Gaston Julia发现。

Julia集合可以由下式进行反复迭代得到：f(z) = z²+ c, 其中z是复平面某一点，c是一个复常数。把这个公式反复迭代，最终会得到一个复数C,然后根据C的模的大小，把这个点映射成不同的颜色，漂亮的Julia集分形就出来了。可以参阅M67的这篇文章，其中有详细的介绍。

下面的几幅图是我用c++和opencv画出来的，一张500*500的图片，迭代15次，在我的i5电脑上跑约不到10秒，速度稍慢。图中不同的C值对应着不同的Julia集，配色比较烂，大家凑合着看。

c = 0.73i

c = -0.3128 + 0.756i

c = 0.45

c = 0.3

当把复数C替换成该点的坐标时，著名的Mandelbrot集就出现了，图中每一个像素点都是一个Julia集。可以把Mandlbrot集是理解为是Julia集的一个缩影，图中不同的颜色表示该点所在的Julia集的发散速度。这张我图画的很不满意，因为迭代次数太少，精度不够，而且颜色也非常难看。在我的x86系统上迭代15次就已经有一些点会overflow了，叹气！期待高人指点

这里盗用M67的一段话：“生成 Mandelbrot 集的算法和生成 Julia 集的算法完全一样，只是这一次我们固定的是初始值，而把 c 当作了变量。Mandelbrot 集内的每一个点就对应了一个连通的 Julia 集，Mandelbrot 集合外的点则对应了不连通的 Julia 集，并且很容易想到，越靠近 Mandelbrot 集的边界，对应的 Julia 集形状就越诡异。因此， Mandelbrot 集还有另外一种解读方法：它就是 Julia 集的缩略图！完全没有比喻的意思，它真的就是 Julia 集的缩略图”。此处的初始值就是每个像素点所在坐标。

代码如下，c和d对应着上文中复数C的实部和虚部，改变它们就可以生成不同的Julia集

其中有两行注释掉的语句，把它们和上两行替换掉，程序就可以画出Mandelbrot集了。颜色的配置我写的很麻烦，因为自己手工设置的有一种亲切感。

#include "stdafx.h"
#include <cv.h>
#include <highgui.h>
#include <cxcore.h>

const int icount = 15;        //迭代次数
const float c = -0.3128;        //实部
const float d = 0.756;          //虚部double m_real, m_image;　　　　//Mandelbro集
CvScalar colortab[21];

class Complex
{
public:
    double real;
    double image;

    Complex(double r=0, double i=0){real = r, image = i;}
};    

Complex operator+(const Complex& a, const Complex &b)
{
    Complex c;
    c.real = a.real + b.real;
    c.image = a.image + b.image;
    return c;
}

Complex operator*(const Complex& a, const Complex &b)
{
    Complex c;
    c.real = a.real * b.real - a.image * b.image;
    c.image = a.image * b.real + a.real * b.image;
    return c;
}

double Model(Complex a)
{
    return sqrtf(a.real * a.real + a.image * a.image);
}

double Iteration(Complex a, int n)
{
    if(n==0)
        return Model(a);
    else
    {
        Complex temp = a*a ;
        temp.real += c;
        temp.image += d;　　　　　　//　　　 temp.real += m_real;　　把这两句代替前面的两句就是mandelbrot集了//　　　 temp.image += m_image;　　　　 return Iteration(temp, n-1);　　}

}

CvScalar dye(double dist)
{
    if(dist < 1.0/4096)
        return colortab[0];
    else if(dist < 1.0/1024)
        return colortab[1];
    else if(dist < 1.0/256)
        return colortab[2];
    else if(dist < 1.0/64)
        return colortab[3];
    else if(dist < 1.0/16)
        return colortab[4];
    else if(dist < 1.0/4)
        return colortab[5];
    else if(dist < 1)
        return colortab[6];
    else if(dist < 4)
        return colortab[7];
    else if(dist < 16)
        return colortab[8];
    else if(dist < 64)
        return colortab[9];
    else if(dist < 256)
        return colortab[10];
    else if(dist < 1024)
        return colortab[11];
    else if(dist < 4096)
        return colortab[12];
    else if(dist < 16384)
        return colortab[13];
    else if(dist < 65536)
        return colortab[14];
    else if(dist < 262144)
        return colortab[15];
    else if(dist < 1048576)
        return colortab[16];
    else if(dist < 4194304)
        return colortab[17];
    else if(dist < 16777216)
        return colortab[18];
    else if(dist < 67108864)
        return colortab[19];
    else return colortab[20];
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    colortab[0] = CV_RGB(28, 28, 28);
    colortab[1] = CV_RGB(130, 130, 130);
    colortab[2] = CV_RGB(85, 26, 139);
    colortab[3] = CV_RGB(224, 102, 255);
    colortab[4] = CV_RGB(255, 187, 255);
    colortab[5] = CV_RGB(0,0,205);
    colortab[6] = CV_RGB(72, 118, 255);
    colortab[7] = CV_RGB(0, 191, 255);
    colortab[8] = CV_RGB(0, 255, 255);
    colortab[9] = CV_RGB(0, 255, 127);
    colortab[10] = CV_RGB(0, 255, 0);
    colortab[11] = CV_RGB(50, 205, 50);
    colortab[12] = CV_RGB(173, 255, 47);
    colortab[13] = CV_RGB(255, 185, 15);
    colortab[14] = CV_RGB(255, 215, 0);
    colortab[15] = CV_RGB(255, 255, 0);
    colortab[16] = CV_RGB(255, 69, 0);
    colortab[17] = CV_RGB(255, 140, 0);
    colortab[18] = CV_RGB(255, 211, 155);
    colortab[19] = CV_RGB(255, 231, 186);
    colortab[20] = CV_RGB(255, 239, 213);

    IplImage* img = cvCreateImage(cvSize(500,500), 8, 3);

    for (int Y=0; Y<img->height; Y++)
    {
        for (int X=0; X<img->width; X++)
        {
            float x = (X - img->width/2) / 200.0;
            float y = (Y - img->height/2) / 200.0;

            m_real = x;　　　　　　　m_image = y;　　　　　　　Complex a(x,y);
            float dist = Iteration(a, icount);
            CvScalar color = dye(dist);

            cvSet2D(img, Y, X, color);
        }
    }

    cvNamedWindow("Julia");
    cvShowImage("Julia", img);
    cvWaitKey(0);

    //保存图片
    char* path = "C:\Users\Administrator\Desktop\Julia.bmp";
    cvSaveImage(path, img);
    cvReleaseImage(&img);
}

原文链接: https://www.cnblogs.com/easymind223/archive/2012/07/05/2578231.html

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